투자비율을 결정하는 켈리 공식

어떤 자산에 투자를 집행할 때 어느 정도가 적정한 수준인가에 대한 고민은 항상 있을 수 밖에 없다. 모든 돈을 다 집어넣자니 혹시나 잘못됐을 경우가 불안하고, 매우 소액만 집어넣자니 기회를 놓칠 것 같아 찜찜하다.

 

이럴 때 도움을 줄 수 있는 것이 바로 '켈리 공식'으로 불리우는 투자비율 결정 방법이다.

 

벨 연구소의 수학자 클로드 섀넌이 발표한 이론을 본 존 래리 켈리 주니어는 이것을 도박에 활용할 수 있다는 것을 깨닫고 공식화하였다.

 

켈리 공식은 일정한 자금을 걸었을 때 얻을 수 있는 우위를 활용하거나, 순수하게 승리할 확률만을 이용하는 방법이 존재한다.

 

1. 우위 활용 공식

 

▶ 우위정도(EDGE)/배당금(ODDS) = 적정 투자비율

 

이 공식을 활용해 만약 동전의 앞면이 나오면 1000원을 벌고 뒷면이 나오면 500원을 잃는 게임을 한다고 생각해보면, 어느 정도의 자금을 투입하여야 옳은 것일까?

 

먼저 우리가 얻을 수 있는 이익의 기대값이 손실의 기대값보다 높은지를 알아보아야 한다. 당장 생각해보아도 동전의 앞면이 나올확률도 50%, 뒷면이 나올확률도 50%인데 이기면 질 경우보다 2배나 더 많은 돈을 벌게 되므로 이익의 기대값이 더 크므로 이 동전던지기 도박에서 우위를 점하고 있음을 느낄 수 있다.

 

구체적인 수치로 나타내면,

 

→ (1000×0.5) + (-500×0.5) = 250

 

이라는 값이 나오므로 위에서 말한 동전던지기 도박의 우위정도는 250원이 된다. 승부에서 이겼을 경우의 배당금은 1000원이므로 우위정도와 배당금을 이용한 적정 투자비율은

 

→ 250/1000 = 0.25 = 25%

 

가 된다. 즉, 위와 같은 경우에는 자신이 가진 돈 중에서 25%를 거는 걸 때 안전하면서도 높은 이익을 얻어낼 수 있다는 것이다.

 

2. 확률만을 활용한 공식

 

▶ 2P - 1 = X

 

여기서 P는 승리확률이다. X는 투자비율이다.

 

즉, 승리할 확률의 2배에서 1을 뺀 수치가 적정 투자비율이 된다.

 

지금 카지노에서 딜러와 게임을 하면서 어느 정도의 돈을 베팅할까 고민하고 있다고 가정하자. 여러가지 상황을 따져보았을 때 내가 이길확률이 60% 수준이라면,

 

→ (2×0.6) - 1 = 0.2

 

가 된다. 따라서 가진 돈의 20%를 베팅하면 된다.

 

이 확률 공식을 위의 동전 돈저기에 대입하면 승리할 확률이 50% 수준이므로 베팅액수가 0으로 계산됨을 알 수 있는데, 실상 바보가 아닌이상 동일 확률에서 자신에게 불리한 수준의 배당금을 책정할리가 없다는 것을 생각해보아야 한다. 만약 위의 동전던지기 게임이 이기던 지던 1000원을 얻거나 잃는다고 다시 정한다면, 결국 확률상 베팅을 할 필요가 없어지는 것이다.

 

이 켈리 공식을 주식 같은 곳에 적용하면 적정한 투자 비율을 어느 정도 계산해낼 수 있다. 물론 주식과 같은 경우 고려해야 할 요소가 훨씬 많기에 도박보다도 확률을 산출해내기가 더욱 어려울 수 있다. 그렇기에 켈리 공식에서 나온것의 절반을 투자비율로 정하는 '하프 켈리'등을 투자비율로 정하는 것을 고려해봄직하다.