블랙-숄즈 모형의 정규분포 오류

옵션가치평가의 대표적 모형인 블랙-숄즈 모형은 1997년 노벨 경제학상을 받은 로버트 머튼, 마이론 숄즈와 함께 피셔 블랙이 개발했다(피셔 블랙은 사망하는 바람에 상을 받지 못함). 로버트 머튼의 이름까지 넣어서 블랙-숄즈-머튼 공식 모형이라고도 한다.

 

여전히 가장 널리 인정받고 있는 옵션가치평가 수학적 공식이지만 현실과 맞지 않는 기본가정 등 때문에 오류도 많은 편인데 그 가정중 정규분포와 관련된 오류에 대해서 이야기해보려 한다.

 

블랙-숄즈 모형의 가정 중 하나는 주가의 무작위적인 변동이 계속 이뤄지며, 그 변동성은 정규분포 형태 안에서 이뤄진다는 것이다.

 

정규 분포는 '종'모양의 형태를 가진 형상으로 나타나며 따라서 주가의 변동성은 정규분포를 따른다면 대략 아래의 그림과 비슷하게 나올 것이다.

 

(양끝으로 갈수록 발생빈도가 점차 작아지는 모습을 취하고 있다)

 

그러나 실제 주가 변동을 관찰하면 위처럼 일반적인 정규분포 형태로 나타나기 보다는 가운데는 좀더 뾰족하고 양끝의 꼬리부분은 좀더 뚜꺼운 형태로 나타난다.

 

위 정규분포에 덧대어서 그려보면 대략적으로 다음과 같을 것이다.

 

(빨간색 선은 정규분포, 그러나 실제 주가 변동은 초록색 선과 유사하다고 할 수 있다)

 

이게 무슨뜻이냐 하면 실제로 주가의 변동은 순간적으로 크게 나타나는 경우가 생각보다 많다는 것이다. 일반적인 정규분포 형태에서는 주가의 큰 변동은 거의 나타나지 않는다고 가정하고 있는데 실제 주식시장을 관찰해보면 가격이 하루만에 크게 오르내리는 현상들을 심심치 않게 관찰할 수 있다.

 

즉, 블랙-숄즈-머튼 모형에서 가정한 '주가 일일변동은 정규분포를 따른다'는 기본가정은 오류를 안고 있다는 것이다. 정규분포와 매우 유사하게 나타나기는 하지만 분명히 이 가정은 미세하게 오류를 안고 있기 때문에 이 모형으로 계산한 옵션가격에 왜곡을 만들어내면서 완벽한 적정가치를 계산할 수 없게 만든다는 것.

 

그런데 이 정규분포 가정 오류는 사실 블랙-숄즈의 다른 가정들에 비하면 사소한 것으로 대부분 여기고 있다. 즉, 이 가정으로 생기는 오류는 그다지 큰 왜곡을 만들어내지 않는다고 볼 수 있다.